Як вирішити матрицю 2x3

Відео: Основні дії з матрицями і векторами в MathCAD 14 (20/34)

Системою рівнянь називається набір з двох або більше рівнянь, які мають загальний набір невідомих і, отже, спільне рішення. Графіком системи лінійних рівнянь є дві прямі, а рішенням системи є точка перетину цих прямих. Для вирішення таких систем лінійних рівнянь корисно і зручно користуватися матрицями.

кроки

• 2
  Форма для системи лінійних рівнянь. Система лінійних алгебраїчних рівнянь (СЛАР) з двома змінними може бути записана наступним чином: ax + by = p, cx + dy = q. Будь-які постійні (p, q) можуть бути рівні нулю, але кожне з рівнянь повинна містити щонайменше одну змінну (x, y).
• 3
  Матричні вирази. Будь-яку СЛАР можна записати в матричній формі, а потім, використовуючи алгебраїчні властивості матриць, розв`язати цю проблему. При записи системи рівнянь у формі матриці A є коефіцієнти матриці, C являє постійні матриці і X позначається невідома матриця.
• Наприклад, представлена вище СЛАР може бути переписана в наступній матричної формі: A x X = C.
• 4
  Розширена матриця. Розширена матриця виходить шляхом перенесення матриці вільних членів (постійних) в ліву частину. Якщо у вас є дві матриці, A і C, то розширена матриця буде виглядати наступним чином:
• Наприклад, для наступної системи лінійних рівнянь:
  2x + 4y = 8
  x + y = 2
  Розширена матриця буде мати розмірність 2x3 і виглядати наступним чином:
• Частина 2 з 2: Перетворення розширеної матриці для вирішення СЛАР

  Відео: Рішення системи рівнянь методом оберненої матриці - bezbotvy

  1
  Елементарні операції. Ви можете виробляти певні операції над матрицею, отримуючи при цьому матрицю, еквівалентну оригінальною. Такі операції називаються елементарними. Наприклад, щоб вирішити матрицю 2x3 потрібно проводити операції з рядками, щоб привести матрицю до трикутного вигляду. Такими операціями можуть бути:

  • перестановка двох рядків.
  • множення рядка на число, відмінне від нуля.
  • множення рядка і додаток її до іншої.
• 2
  Множення другого рядка на відмінне від нуля число. Якщо ви хочете отримати нуль у другому рядку, ви можете помножити рядок так, щоб це стало можливим.
• Наприклад, якщо у вас матриця такого вигляду:
  
  
  Ви можете зберегти перший рядок і використовувати її для отримання нуля в другому рядку. Для цього необхідно спочатку помножити другий рядок на 2:
• Відео: Як вирішувати матріци.методи рішення матриць

  3
  Помножте ще раз. Щоб отримати нуль для першого рядка, вам може знадобитися помножити ще раз, використовуючи аналогічні маніпуляції.
• У наведеному прикладі необхідно помножити другий рядок на -1:
  
  
  Після множення матриця буде виглядати наступним чином:
• 4
  Додайте перший рядок до другої. Складіть рядки, щоб отримати нуль на місці елемента першого стовпця і другого рядка.
• У нашому прикладі складіть обидві рядки, щоб вийшло наступне:
• 5
  Запишіть нову систему лінійних рівнянь для трикутної матриці. Після того, як ви отримали трикутну матрицю, ви можете знову перейти до СЛАР. Перший стовпець матриці відповідає невідомої змінної x, а другий відповідає невідомої змінної y. Третій стовпець відповідає вільному члену рівняння.
• Для нашого прикладу, нова система лінійних рівнянь набуде вигляду:
• 6
  Розв`яжіть рівняння для однієї з змінних. У новій СЛАР визначте, яку змінну найпростіше знайти і вирішите рівняння.
• У нашому прикладі, зручніше вирішувати з кінця, тобто від останнього рівняння до першого, рухаючись від низу до верху. З другого рівняння ми легко можемо знайти рішення для y, оскільки ми позбулися x, так, y = 2.
• 7
  Знайдіть другу невідому методом підстановки. Після того, як ви знайшли одну з змінних, ви можете підставити її в друге рівняння, щоб знайти другу змінну.
• У нашому прикладі просто замініть y на 2 в першому рівнянні, щоб знайти невідому x:

• Поради

  • Елементи матриці зазвичай називають скалярами.
  • Щоб вирішити матрицю 2x3, ви повинні виконувати елементарні операції над рядками. Ви не можете виконувати ці операції за стовпцями.