Як вирішувати кубічні рівняння

Кубічні рівняння мають вигляд ax + bx + cx + d = 0. Спосіб вирішення таких рівнянь відомий вже кілька століть (він був відкритий в 1500-х роках італійськими математиками). Вирішити деякі кубічні рівняння досить складно, але при правильному підході (і хорошому рівні теоретичних знань) ви зможете вирішувати навіть найскладніші кубічні рівняння.

кроки

• 2
  Так як в даному рівнянні вільного члена немає, то всі члени цього рівняння містять змінну "х", Яку можна винести за дужки: x(ax + bx + c).

  Відео: Як швидко вирішити кубічне рівняння

• Приклад. 3x + -2x + 14x = 0. Винісши "х" за дужки, ви отримаєте x(3x + -2x + 14) = 0.
• 3
  Зверніть увагу, що рівняння в дужках - це квадратне рівняння виду ax + bx + c, яке можна вирішити за допомогою формули ({-b +/ - (b- 4ac)} / 2a). Вирішіть квадратне рівняння, і ви вирішите кубічне рівняння.
• У нашому прикладі підставте значення коефіцієнтів "а", "b", "з" (3, -2, 14) в формулу:

  {-b +/ - (b- 4ac)} / 2a

  {- (- 2) +/- ((-2) - 4 (3) (14))} / 2 (3)

  {2 +/- (4 - (12) (14))} / 6

  {2 +/- (4 - (168)} / 6

  {2 +/- (-164)} / 6

• Рішення 1:

  {2 + (-164)} / 6

  {2 + 12,8i} / 6

• Рішення 2:

  {2 - 12,8i} / 6

• 4
  Пам`ятайте, що квадратні рівняння мають два рішення, а кубічні - три рішення. Ви знайшли два рішення квадратного, а отже і кубічного рівняння. У випадках, коли ви виносите "х" за дужки, третє рішення завжди дорівнює 0.
• Це вірно, так як будь-яке число або вираз, помножене на 0, дорівнює 0. Так як ви винесли "х" за дужки, то ви розклали кубічне рівняння на два множники ("х" і квадратне рівняння), один з яких повинен бути рівний 0, щоб все рівняння дорівнювало 0.
• Метод 2 з 3: Знаходження цілих рішень за допомогою розкладання на множники
  1
  Перевірте, чи має дане вам кубічне рівняння вільний член. Описаний в попередньому розділі метод не годиться для вирішення кубічних рівнянь, в яких присутній вільний член. В цьому випадку вам доведеться скористатися методом, описаному в цьому або наступному розділах.

  • Приклад. 2x + 9x + 13x = -6. Тут перенесіть вільний член d = -6 на ліву сторону рівняння, щоб на правій стороні отримати 0: 2x + 9x + 13x + 6 = 0.
• 2
  Знайдіть множники коефіцієнта "а" (Коефіцієнт при x) І вільного члена "d". Множники числа - це числа, які при перемножуванні дають вихідне число. Наприклад, множителями числа 6 є числа 1, 2, 3, 6 (1 * 6 = 6 і 2 * 3 = 6).
• У нашому прикладі а = 2 і d = 6. Множники 2 - це числа 1 і 2. множники 6 - це числа 1, 2, 3 і 6.
• 3
  Розділіть множники коефіцієнта "а" на множники вільного члена "d". Ви отримаєте дроби і цілі числа. Цілим рішенням даного вам кубічного рівняння буде або одне з цих цілих чисел, або негативне значення одного з цих цілих чисел.
• У нашому прикладі розділіть множники "а" (1, 2) на множники "d" (1, 2, 3, 6) і отримаєте: 1, 1/2, 1/3, 1/6, 2, 2/3. Тепер додайте до цього ряду чисел їх негативні значення: 1, -1, 1/2, -1/2, 1/3, -1/3, 1/6, 1/6, 2, -2, 2/3 , -2/3. Цілі вирішення даного вам кубічного рівняння знаходяться в цьому ряду чисел.
• 4
  Тепер ви можете знайти цілі рішення вашого кубічного рівняння, підставивши в нього цілі числа зі знайденого ряду чисел. Але якщо ви не хочете витрачати час на це, скористайтеся розподілом за схемою Горнера. Така схема має на увазі розподіл цілих чисел на значення "а", "b", "з", "d" даного кубічного рівняння. Якщо залишок дорівнює 0, ціле число є одним з рішень кубічного рівняння.
• Розподіл за схемою Горнера - непроста тема-для отримання додаткової інформації по ній перейдіть за посиланням, зазначеної вище. Ось приклад того, як знайти одне з рішень даного вам кубічного рівняння за допомогою ділення за схемою Горнера:

  -1 | 2 9 13 6

  __ | -2-7-6

  __ | 2 7 6 0

  Так як залишок 0, то одним з рішень рівняння є ціле число -1.

• Метод 3 з 3: Використання дискримінанту

  Відео: Як вирішити кубічне рівняння СУНЦ МГУ Рішення задач онлайн Математика

  1
  У цьому методі ви будете працювати зі значеннями коефіцієнтів "а", "b", "з", "d". Тому краще виписати значення цих коефіцієнтів заздалегідь.

  • Приклад. x - 3x + 3x - 1. Тут a = 1, b = -3, c = 3, d = -1. Не забувайте, що коли перед "х" коефіцієнта немає, то це означає, що коефіцієнт дорівнює 1.
• 2
  Обчисліть 0 = b - 3ac. У цьому методі потрібно провести кілька складних обчислень, але якщо ви усвідомите його, ви зможете вирішувати найскладніші кубічні рівняння.
• У нашому прикладі:

  b - 3ac

  (-3) - 3 (1) (3)

  9 - 3 (1) (3)

  9 - 9 = 0 = 0

• 3
  Обчисліть 1 = 2b - 9abc + 27ad.
• У нашому прикладі:

  2 (-3) - 9 (1) (- 3) (3) + 27 (1) (- 1)

  2 (-27) - 9 (-9) + 27 (-1)

  -54 + 81 - 27

  81 - 81 = 0 = 1

• 4
  Обчисліть = 1 - 4 0) -27a. Тепер обчисліть дискриминант рівняння за допомогою знайдених значень 0 і 1. Дискримінант - це число, що дає вам інформацію про коріння многочлена (ви, можливо, вже знаєте, що дискримінант квадратного рівняння дорівнює b - 4ac). У разі кубічного рівняння, якщо дискримінант позитивний, то рівняння має три рішення-якщо дискримінант дорівнює нулю, то рівняння має одне або два рішення-якщо дискримінант від`ємний, то рівняння має тільки одне рішення. (Кубічне рівняння завжди має принаймні одне рішення, тому що графік такого рівняння перетинає вісь X принаймні в одній точці).
• У нашому прикладі 0 = 0 і 1 = 0, тому знайти не важко.

  1 - 4 0) -27a

  (0) - 4 (0)) -27 (1)

  0 - 0 27

  0 =, Тому дане вам рівняння має одне або два рішення.

• 5
  Обчисліть C = (((1 - 4 0) + 1) / 2). Ця величина дозволить вам знайти коріння кубічного рівняння.
• У нашому прикладі:

  (((1 - 4 0) + 1) / 2)

  (((0 - 4 (0)) + (0)) / 2)

  (((0 - 0) + (0)) / 2)

  0 = C

• 6
  Коріння (рішення) кубічного рівняння визначаються за формулою (b + uC + (0 /uC)) / 3a, де u = (-1 + (-3)) / 2, а n одно або 1, або 2, або 3.
• Підставивши в цю формулу відповідні значення величин, ви отримаєте можливі рішення даного вам кубічного рівняння. Підставте їх у вихідне рівняння і якщо рівність дотримано, то рішення правильні. Наприклад, якщо, підставивши значення в формулу, ви отримали 1, підставте 1 в x - 3x + 3x - 1 і отримаєте 0. Тобто рівність дотримано і 1 є одним з рішень даного вам кубічного рівняння.