Як побудувати гіперболоїд
категорія Faq
Початкові знання про гіперболи стають відомі зі шкільного курсу геометрії. Надалі, вивчаючи у вузі аналітичну геометрію, яких навчають отримують додаткові уявлення про гіперболи, гіперболоїд і їх властивості.
1
Уявіть, що є гіпербола і деяка лінія, яка проходить через початок координат. Якщо гіперболу почати обертати навколо цієї осі, виникне порожнисте тіло обертання, яке називається гіперболоїдом. Існує два види гіперболоїдів: однопорожнинний і двуполостной. Однопорожнинний гіперболоїд задається рівнянням виду: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2-z ^ 2 / c ^ 2 = 1Якщо розглядати дану просторову фігуру щодо площин Oxz і Oyz, можна помітити, що основними її перетинами є гіперболи . Однак, перетином однополостного гіперболоїда площиною Oxy є еліпс. Найменший еліпс гіперболоїда називається горловим еліпсом. В цьому випадку, z = 0, а еліпс проходить через початок координат. Рівняння горлового еліпса при z = 0 записується в такий спосіб: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1Остальние еліпси мають рівняння такого вигляду: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 = 1 + h ^ 2 / c ^ 2, де h - висота однополостного гіперболоїда.
2
Побудова гіперболоїда почніть із зображення гіперболи в площині Xoz. Начартом дійсну піввісь, яка збігається з віссю y і уявну піввісь, збігається з z. Побудуйте гіперболу, а потім задайте деяку висоту h гіперболоїда. Після цього, на рівні заданої висоти проведіть прямі, паралельні Ox і перетинають графік гіперболи в нижніх і верхніх точках.Затем аналогічним чином в площині Oyz побудуйте гіперболу, де b - дійсна піввісь, що проходить через вісь y, а з - уявна піввісь, також збігається з c.Постройте в площині Oxy паралелограм, який виходить шляхом з`єднання точок графіків гіпербол. Накресліть горловий еліпс таким чином, щоб він був вписаний в цей паралелограм. Аналогічним чином побудуйте інші еліпси. В результаті вийде креслення тіла обертання - однополостного гіперболоїда, зображеного на рис.1
Відео: 127. Побудова поверхні другого порядку
3
Двуполостной гіперболоїд отримав свою назву через двох різних поверхонь, які утворені віссю Oz. Рівняння такого гіперболоїда має наступний вигляд: x ^ 2 / a ^ 2 + y ^ 2 / b ^ 2 -z ^ 2 / c ^ 2 = -1Две порожнини виходять при побудові гіперболи в площині Oxz і Oyz. У двуполостного гіперболоїда перетину - еліпси: x ^ 2 / a ^ 2-y ^ 2 / b ^ 2 = h ^ 2 / c ^ 2-1Также, як і в випадку з однополостного гіперболоїдом, побудуйте в площинах Oxz і Oyz гіперболи, які розташовуватимуться таким чином, як показано на малюнку 2. Побудуйте внизу і нагорі паралелограми для побудови еліпсів. Побудувавши еліпси, приберіть все проекції побудови, а потім накресліть двуполостной гіперболоїд.
Рада 2: Як побудувати односмуговий гіперболоїд
однополосний гіперболоїд являє собою фігуру обертання. Щоб побудувати його, потрібно дотримуватися певної методики. Спочатку викреслюються півосі, потім, гіперболи і еліпси. Поєднання всіх цих елементів допоможе скласти вже саму просторову фігуру.
Вам знадобиться
- - олівець,
- - папір,
- - математичний довідник.
Інструкція
1
Відео: Поверхні в Excel (Surface in Excel)
Зобразіть гіперболу в площині Xoz. Для цього накресліть дві півосі, що збігаються з віссю y (дійсна піввісь) і з віссю z (уявна піввісь). Побудуйте на базі них гіперболу. Після цього задайте певну висоту h гіперболоїда. На завершення на рівні цієї заданої висоти проведіть прямі, які будуть паралельні Ox і перетинають при цьому графік гіперболи в двох точках: нижній і верхній.
2
Повторіть вищеописані дії в іншій площині - Oyz. Тут побудуйте гіперболу, в якій дійсна піввісь проходить через вісь y, а уявна - збігається з c.
3
Побудуйте паралелограм в площині Oxy. Для цього з`єднаєте точки графіків гіпербол. Потім Вичертите горловий еліпс з урахуванням того, щоб він вписався в побудований раніше паралелограм.
4
Відео: 128. Рішення задач на поверхні другого порядку
Повторіть вищеописані дії при побудові інших еліпсів. В кінцевому підсумку сформується креслення однополостного гіперболоїда.
5
однопорожнинний гіперболоїд описується зображеним рівнянням, де a і b - дійсні, c - уявна піввісь. Тобто його координатні площині є одночасно ще й площинами симетрії, а початок координат є центр симетрії даної просторової фігури.
Зверніть увагу
Якщо дві півосі однополосного гиперболоида рівні, то фігуру можна отримати шляхом обертання гіперболи з півосями, одна з яких вищевказана, а інша, відмінна від двох рівних, навколо уявної осі.
Корисна порада
При розгляді цієї фігури відносно осей Oxz і Oyz видно, що її головними перерізами є гіперболи. А при розрізі даної просторової фігури обертання площиною Oxy її перетин являє собою еліпс. Горловий еліпс однополосного гиперболоида проходить через початок координат, адже z = 0.
Горловий еліпс описується рівнянням x? / A? + Y? / B = 1, а інші еліпси складаються з рівняння x? / A? + Y? / B = 1 + h? / C ?.